如何从地球出发，通过霍曼转轨飞往火星？4月12日12时，《张朝阳的物理课》第二百八十二期开播，搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，首先介绍了划分行星引力势的希尔球，接着利用希尔球将飞往火星的过程划分成三个单一引力源的阶段，最后近似计算了逃逸地球引力阶段的双曲线轨道和转移去火星阶段的椭圆轨道。

计算希尔球的半径

火箭在太阳系中航行，实际上时时刻刻都会受到来自太阳、八大行星、乃至其他小行星的引力作用，为了简化问题，可以把航行划分成各个阶段，每个阶段只考虑一个主导天体的引力作用。一种被广泛采用的判断方法是希尔球（Hill sphere），具体来说，在行星的某个范围内，火箭相对于该行星的运动由行星的引力所主导，这个范围可以近似成以行星为中心、与拉格朗日点L1/L2相交的球，这就是该行星在太阳系中的希尔球。

有了希尔球的概念，就可以把从地球到火星的旅程分为三个阶段：一、从地球的近地轨道出发，逃出地球的希尔球；二、火箭在太阳引力主导的作用下转移到火星公转轨道附近；三、进入火星的希尔球并被火星捕获。

下面来计算地球的希尔球半径，也就是日地拉格朗日点L1到地心的距离。之前的物理课已经多次计算过拉格朗日点，在此做一个简单的复习。考虑太阳与地球构成的两体系统，地球绕太阳公转的角速度记为，日地距离记为，太阳和地球的质量分别为和，由圆周运动公式有

当然事实上，太阳和地球是绕着质心旋转的，相应地，等号右侧分子上的质量应该是太阳与地球的总质量。不过太阳的质量远大于地球质量，所以上面的式子是近似成立的。

另一方面，考察日地连线中距离地球的一点，假设它能在太阳和地球的引力作用下与日地系统一起公转，则

联立上面两式，并对等号右边的式子做关于的一阶泰勒展开

由此解得

(张朝阳计算希尔球的半径)

计算去火星的转移轨道

在正式计算前，张朝阳先约定了火箭的五个关键速度：

：火箭在出发前，在近地轨道绕地球公转的速度

：火箭在近地轨道上点火加速后进入逃逸阶段的速度

：火箭逃逸地球引力进入转移阶段时相对地球的速度

：火箭逃逸地球引力进入转移阶段时相对太阳的速度

：火箭结束转移阶段时相对太阳的速度

先来考虑更基础的速度——地球绕太阳公转的速度，由圆周运动方程

得到

另一方面，如果想在地球的公转轨道上出发脱离太阳系，就需要让动能超过引力势能

也就是说，如果要飞往太阳系内的其他行星，需要让火箭相对于太阳的速度介于29.8km/s和42.2km/s之间；而如果要飞出太阳系外，就需要超过42.2km/s。飞往火星正是前一种情形。

接下来确认从地球飞往火星的椭圆轨道参数，考虑圆锥曲线在极坐标下的参数方程

其中近日点为日地距离，远日点为日火距离。由此可解出参数

另一方面，参数B来自于对运动方程做比奈变换后得到的常数

其中是比角动量的大小，等于轨道上的速度叉乘位矢所得到的矢量大小，联立上面两个式子，能得到

由此可得火箭在进入转移阶段时相对太阳的速度

对应的，火箭相对地球的速度为

该转移轨道的半长轴，利用开普勒第三定律

可以算出该轨道的周期

考虑到转移过程只需要走半个椭圆，所以实际转移耗时大约为八个半月。

计算脱离地球的逃逸轨道

（张朝阳讲解从近地轨道变到逃逸轨道）

最后，张朝阳计算了火箭从近地轨道加速进入转移轨道的双曲线轨道。双曲线也是一种圆锥曲线，其参数方程和上面的椭圆轨道具有相同的形式。假设近地轨道高度，地球半径，近地轨道的圆周运动速度为

火箭先在近地轨道点火加速，在几分钟内变成，然后远离地球后，其相对地球的渐近速度为，由机械能守恒有

可见该阶段加速所需要的速度增量为

有了，还可以进一步地得到双曲线轨道上的比角动量，进而算出双曲线的参数

再根据双曲线的近地点位于近地轨道这一条件

可以解出

由此可以算出双曲线的渐近线所对应的极角

从而算出从整个逃逸过程速度方向的偏转角为

（逃逸轨道的详细示意图）

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